| 公理 axiom 能用来作为某种科学论证的原始的、不需要加以证明的命题或原理。“数学上所谓公理，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定”(《马克思恩格斯全集》第20卷第601页)。在古希腊，亚里士多德把公理、假设和定义作为论证的原则。认为公理是每一门演绎证明科学的出发点。公理是不加证明的命题，它通过逻辑证明而形成定理。关于公理的来源有两种对立的观点：唯心主义者认为，公理是天赋的、先验的。如柏拉图认为，人类对数学公理的认识是天赋的，是灵魂中固有的。康德也认为数学公理是先于一切经验的。唯物主义者则认为，公理是人们在多次反复的实践活动中形成的。列宁在论述黑格尔的关于逻辑公理时说：“人的实践活动必须亿万次地使人的意识去重复各种不同的逻辑的格，以便这些格能够获得公理的意义。”(《列宁全集》第38卷第203页)公理要求无矛盾性、独立性和完全性。无矛盾性即要求公理本身不能同时得出两个相互矛盾的概念或命题;独立性要求作为某种理论体系出发点的诸公理最好是缺一不可的，任何一个公理都不能从其他公理中推演出来;完全性则要求在某种理论体系中一切真命题都可以从公理中推论出来。公理与从公理得出定理之间的区别是相对的。在某种场合下作为公理，而在另一种场合下则可以作为定理。公理的适用范围也是相对的。黎曼和罗巴切夫斯基创立的非欧几何学就证明，欧几里得的几何公理，只适用于狭小范围的物体的空间。在非固体形态的空间和宇宙弯曲空间，三角形三内角之和就分别大于180°和小于180°。公理在科学研究中具有重要作用。它可以作为逻辑证明的论据，又可以作为公理方法中的出发点。现代公理化方法已成为自然科学研究的基本方法。 |