| 逻辑主义 logicism 亦称“逻辑斯提”。数理逻辑和数学基础研究中三大派别之一。主张数学是逻辑的延伸。他们只研究概念间的纯逻辑关系，从逻辑学可推导出全部数学，全部数学可以归结为逻辑学。其代表人物是罗素、怀特海、弗雷格。弗雷格相信全部数学都能从基本的逻辑规律推演出来，认为集合论具有逻辑的性质。他发明了一套无论在当时还是现在都使人觉得难以理解的逻辑符号，并把集合论的某些内容翻译和再造成逻辑学的定义和定理，进而定义了自然数和推演出整个算术理论。著名的罗素悖论使弗雷格把数学建立在集合论之上的想法，遭到严重的打击。但是逻辑主义并未中断。罗素继承了弗雷格的思想，为了解决由集合论危机引起的数学基础危机，提出了从逻辑概念推出数学概念，从逻辑公理推出数学定理，从而推导出全部数学的计划。在他与怀特海合著的三卷本《数学原理》中，确实将数学化归为一个形式系统，但是他们也遇到了一些难以逾越的困难。如在数学概念的推导中遇到非直谓定义。而在集合的定义中，为了避免出现循环定义，罗素提出了禁止恶性循环原则：不管一个集合包含什么元素，它本身一定不能作为该集合的一个元素。他还提出试图消除集合论悖论的类型论，这样一来，又导致必须用类型论观点对语句作仔细的区分，这就使得数学变得非常复杂烦琐。后来，罗素为简化这种处理又引入了可化归性公理，可这条公理又和禁止恶性循环原则有冲突。在数学定理推导中，罗素还假定了无穷公理和选择公理，但是由于这两条公理并非逻辑公理，这意味着只有在逻辑公理之外，再加上两条非逻辑公理才能推导出数学，亦即逻辑主义者想从逻辑推出全部数学的设想是不能实现的。1931年哥德尔发表了不完全性定理，进一步从理论上说明，逻辑公理是不完全的，它不能无遗漏地包容全部数学并从而推出数学，甚至连推出算术也做不到。由于逻辑主义进一步认为，数学是不具有任何实际内容的科学，可以从逻辑推出全部数学。因而实际上是夸大了逻辑在数学发展中的作用，背离了数学发展的历史。但逻辑主义的观点与做法使人们清楚而具体地看到数学与逻辑的密切联系和区别，特别是他们实现了逻辑的公理化、形式化，第一次仔细地展开了一个逻辑的形式系统，使数理逻辑成为一门独立的科学，基本上完成了逻辑的现代化，对逻辑学的发展起到了承前启后的作用。 |