全微分方程
全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。
给定R的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那幺以下形式的一阶常微分方程
![I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!](/Images/godic/202501/12/b5251a3ceca837ddc670e4e5814c02d33838.png")
称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得
![\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I](/Images/godic/202501/12/058b4ed172139f39c33d75c0f2409bd63838.png")
以及
![\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = J.](/Images/godic/202501/12/dcb92452aa67b229a2f3deee2ec2b35d3838.png")
“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数![F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n)](/Images/godic/202501/12/4701f5a0315bc054727d4f5b1ccb30853838.png")
，全导数为：
![\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.](/Images/godic/202501/12/014da49dad53a6a1af10be307648fa193838.png")
例子
函数
![F(x,y) := \frac{1}{2}(x^2 + y^2)](/Images/godic/202501/12/cd3ec82ae6d00fd42f75eb6db40a253e3838.png")
是以下全微分方程的势函数。
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![xx' + yy' = 0.\,](/Images/godic/202501/12/6fc35500b80348b40f93823285049c443839.png")