三角函数是数学中一个非常重要的概念,在各种领域都有广泛应用。三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割等,这些函数之间存在着许多重要的关系和公式。掌握这些三角函数公式,不仅可以帮助我们更好地理解三角函数的性质,还能在解决各种数学问题时发挥重要作用。
三角函数基本公式
三角函数的基本公式包括以下几种:
- 三角恒等式:
$$\sin^2 x \cos^2 x = 1$$
$$\tan^2 x 1 = \sec^2 x$$
$$\cot^2 x 1 = \csc^2 x$$
- 倒三角函数公式:
$$\sin^{-1} x = -\sin^{-1} (-x)$$
$$\cos^{-1} x = \pi - \cos^{-1} (-x)$$
$$\tan^{-1} x = -\tan^{-1} (-x)$$
- 和差公式:
$$\sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$
$$\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$
$$\tan (x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$$
- 倍角公式:
$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$
$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$
$$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$
- 半角公式:
$$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$$
$$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 \cos x}{2}}$$
$$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 \cos x}}$$
反三角函数公式
除了三角函数的基本公式,反三角函数也有一些重要的公式,包括:
- 反三角函数与三角函数的关系:
$$\sin^{-1} x = x$$
$$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$$
$$\tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x$$
$$\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$$
$$\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x}$$
$$\csc^{-1} x = \sin^{-1} \frac{1}{x}$$
- 反三角函数的和