| 密列曼诺夫悖论 Mirimanoff’s paradox 逻辑悖论之一。1908年策梅罗集论公理系统建立后发现。1917年密列曼诺夫(D. Mirimanoff， 1861—1925)首先意识到在策梅罗公理系统中不能排除下述悖论的产生：集x0称为无底集，若存在集序列｛xn：n∈N｝，对于任一自然数n，xn+1∈xn永远成立。亦即｛xn｝满足：…xn+1∈xn ∈xn-1∈…∈x1∈x0，不是无底集的集称为有底集。显然如果x0是无底集，那么｛xn｝中的任何一个集xn也必是无底集。考虑一切有底集所构成的集X，如果X是有底的，即X∈X，于是存在集序列｛xn：xn＝X｝，使xn+1∈xn对于一切自然数n均成立，因而X是无底的;反之，如果X是无底的，则存在｛xn｝满足…xn+1∈xn∈…∈x1∈X，所以x1也是无底的，但这与x1∈X相矛盾。1925年冯·诺依曼建议在策梅罗公理系统中增加一条基底公理，使无底集不能在新系统中产生，因而X就是一切集所构成的真类，它并不是一个集，所以这一悖论得以避免。 |