黎曼ζ函数ζ（s）的定义如下： 设一复数s，其实数部份> 1而且：

它亦可以用积分定义：

在区域{s : Re(s) > 1}上， 此无穷级数收敛并为一全纯函数。（上式中Re表示复数的实部。）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。 波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律（Zipf's Law）和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law）），还有物理，以及调音的数学理论中。

The Riemann zeta function or Euler–Riemann zeta function, ζ(s), is a function of a complex variable s that analytically continues the sum of the infinite series

which converges when the real part of s is greater than 1. More general representations of ζ(s) for all s are given below. The Riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory and has applications in physics, probability theory, and applied statistics.