克罗内克积

数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为 $\otimes$ 。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积 $A \otimes B$ 则是一个 mp × nq 的分块矩阵

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.

更具体地可表示为

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}.

例子

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}

.

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{11} b_{13} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{12} b_{13} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{11} b_{23} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} & a_{12} b_{23} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{21} b_{13} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} & a_{22} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{21} b_{23} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{22} b_{23} \\ a_{31} b_{11} & a_{31} b_{12} & a_{31} b_{13} & a_{32} b_{11} & a_{32} b_{12} & a_{32} b_{13} \\ a_{31} b_{21} & a_{31} b_{22} & a_{31} b_{23} & a_{32} b_{21} & a_{32} b_{22} & a_{32} b_{23} \end{bmatrix}

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词汇	Kronecker product
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Kronecker product 中文百科克罗内克积数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为 $\otimes$ 。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积 $A \otimes B$ 则是一个 mp × nq 的分块矩阵 $A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.$ 更具体地可表示为 $A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}.$ 例子 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ . $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{11} b_{13} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{12} b_{13} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{11} b_{23} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} & a_{12} b_{23} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{21} b_{13} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} & a_{22} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{21} b_{23} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{22} b_{23} \\ a_{31} b_{11} & a_{31} b_{12} & a_{31} b_{13} & a_{32} b_{11} & a_{32} b_{12} & a_{32} b_{13} \\ a_{31} b_{21} & a_{31} b_{22} & a_{31} b_{23} & a_{32} b_{21} & a_{32} b_{22} & a_{32} b_{23} \end{bmatrix}$ . 英语百科 Kronecker product 克罗内克积 In mathematics, the Kronecker product, denoted by ⊗, is an operation on two matrices of arbitrary size resulting in a block matrix. It is a generalization of the outer product (which is denoted by the same symbol) from vectors to matrices, and gives the matrix of the tensor product with respect to a standard choice of basis. The Kronecker product should not be confused with the usual matrix multiplication, which is an entirely different operation.
随便看	𥝲𥝳𥝴𥝵𥝶𥝷𥝸𥝹𥝺𥝻𥝼𥝽𥝾𥝿𥞀𥞁𥞂𥞃𥞄𥞅𥞆𥞇𥞈𥞉𥞊你快乐吗？？？是什么意思在反思中学会长大是什么意思任逍遥是什么意思忘川是什么意思谁说等待可以成就爱情是什么意思《爱情走向》第十七章恶梦初来，我被老板停职反省是什么意思爱一个人痛苦吗？是什么意思给那个~十五勇士~~是什么意思学会让自己快乐是什么意思 “谢师宴”的联想是什么意思公交站台上的“非诚勿扰”是什么意思迷茫的人生，我的方向在哪里…是什么意思回忆尘封以久的爱情是什么意思爱情路上一起走，今生有你就足够是什么意思雨飘雪纷纷是什么意思真正爱情的四个特征,真正的爱情应该是这样的为什么爱情中的心理控制术如此恐怖呢真正爱情的四个特征,正确的爱情观真正爱情的四个特征,到底什么叫爱情婚外恋怎么办？减少见面的机会，避免单独见面真正爱一个人是什么样子,这才算是爱上一个人婚外恋怎么办？看清自己的心真正爱一个人是什么样子,真正喜欢一个人的感觉摩羯座会爱上什么样的人结婚必须要的东西是什么,结婚需要准备什么结婚半年后老公越来越不耐烦了的三个原因婚外恋怎么办？理性地考虑婚外情的后果真正爱一个人是什么样子,一个男人真正爱你的表现婚外恋怎么办？试着把婚外情变成友谊真正爱一个人是什么样子,男人遇到真爱的状态轮班工作制软件界面软性商品轻度智力落后轻度精神发育迟滞轻微脑损伤综合征辅助媒体辅助性配角辅导性计划辐合辨别辨别刺激物辨别学习辨别缺陷症辨别认知月亮射手座男特质月亮射手座的魅力指数月亮天蝎座五宫代表什么月亮射手座女人怎么样射手座太阳月亮怎么区分月亮天蝎座四宫代表什么金星射手月亮射手的男人靠谱吗太阳处女座上升射手座月亮射手的人好处吗月亮射手金星射手怎么区分月亮射手座现实吗月亮射手座家庭如何戳！如何把这几个抠搜星男调教得大方射手座月亮与太阳的区别月亮狮子月亮天蝎合适吗月亮射手座适合从事的事业

Kronecker product

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例子

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