| 形式主义 formalism 数学基础和数理逻辑研究中三大派别之一。主张逻辑必须和数学同时加以研究，数学本身是一堆形式系统，它们各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学;各有自己的概念、公理、推导定理的法则及定理。把这些演绎系统都开展起来，就是数学的任务。还主张数学的对象是不存在的，只是一种有用的虚构;数学理论的真理性在于无矛盾性。代表人物通常认为是希尔伯特，美国数学家克里(Haskell Brooks Curry， 1900— )、美国逻辑学家鲁宾逊(Abraham Robinson， 1918—1974)、美国逻辑学家柯亨(Paul Joseph Cohen， 1934— )。在数学基础研究中，希尔伯特为使古典数学走出从直觉主义的框子，提出解决数学理论相容性问题的方案，直觉主义创始人布劳维便称希尔伯特为形式主义，但希尔伯特本人并不自命为形式主义。希尔伯特及其学生阿克曼，贝尔奈斯以及冯·诺伊曼逐步开展的证明论方案也与哲学意义上的形式主义不同。同时希尔伯特也认为，数学思维的对象是符号本身，这些符号就是实体，它不代表理想化的物理对象;公式可以代表直观上有意义的陈述，但这并非数学的一部分。这是撇开数学研究的具体内容，从形式角度考察问题。但是以后形式主义者夸大了希尔伯特的思想，并进而认为，数学的研究对象是不存在的，特别是无穷集和无穷总体更是不存在的，它们只是有用的虚构;数学是研究形式系统的科学，形式系统是没有内容的，数学定理的意义仅仅在于它在所采用的形式系统中是可证明的，因此，数学是一种纯粹的符号游戏;对这种符号游戏的唯一要求是在推理中不产生逻辑矛盾，即数学理论的真理性等同于无矛盾性或可推导性。按形式主义观点，如果能够在有限主义立场上证明形式系统的无矛盾性，那么数学家在数学理论中自由地运用涉及无限的概念以及各种逻辑推理规则的合理性也就得到了辩护，数学也就得到了最终的确定性。但事实上形式主义的这个推论是不可能实现的。首先，哥德尔不完全性定理直接表明，形式系统对有内容的数学理论的翻译是不忠实的。其次，不完全性定理有一个推论，在足够丰富的形式系统内，“1=0不可证”被翻译成形式句子后，也是不可证的，这意味着，在有限主义立场上，不可能证明形式系统的无矛盾性。尽管如此，它们确实也证明了一些简单形式系统的无矛盾性。沿此道路建立起来的证明论为数学理论的无矛盾性的证明提供了一种新方法，从而产生了许多积极的成果。 |