Ext函子 Ext functor

（重定向自Extension of modules）

在同调代数中，Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑，但其应用遍布许多领域。

设 $\mathcal{C}$ 为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 $R$ 上的左模范畴 $R-\mathbf{Mod}$ 。固定一对象 $A$ ，定义函子 $T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$ ，此为左正合函子，故存在右导函子 $R^\bullet T_A(-)$ ，记为 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)$ 。当 $\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}$ 时，常记之为 $\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)$ 。

根据定义，取 $B$ 的内射分解

并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$ ，得到

去掉首项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ ，最后取上同调群，便得到 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)$ 。

另一方面，若 $\mathcal{C}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf{Mod}$ ），则可考虑右正合函子 $G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ 及其左导函子 $L_\bullet G_B(-)$ ，可证明存在自然同构 $L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$ 。换言之，对 $A$ 取射影分解：

并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ ，得到

去掉尾项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ ，其同调群同构于 $\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$ 。

词汇	Extension of modules
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Extension of modules 中文百科 Ext函子 Ext functor （重定向自Extension of modules）在同调代数中，Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑，但其应用遍布许多领域。设 $\mathcal{C}$ 为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 $R$ 上的左模范畴 $R-\mathbf{Mod}$ 。固定一对象 $A$ ，定义函子 $T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$ ，此为左正合函子，故存在右导函子 $R^\bullet T_A(-)$ ，记为 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)$ 。当 $\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}$ 时，常记之为 $\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)$ 。根据定义，取 $B$ 的内射分解并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)$ ，得到去掉首项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ ，最后取上同调群，便得到 $\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)$ 。另一方面，若 $\mathcal{C}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf{Mod}$ ），则可考虑右正合函子 $G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ 及其左导函子 $L_\bullet G_B(-)$ ，可证明存在自然同构 $L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$ 。换言之，对 $A$ 取射影分解：并取 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$ ，得到去掉尾项 $\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)$ ，其同调群同构于 $\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)$ 。英语百科 Ext functor Ext函子（重定向自Extension of modules） In mathematics, the Ext functors of homological algebra are derived functors of Hom functors. They were first used in algebraic topology, but are common in many areas of mathematics. The name "Ext" comes from group theory, as the Ext functor is used in group cohomology to classify abelian group extensions.
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