| 公理化方法 axiomatical method 科学理论演绎构造的一种逻辑方法。即从少数不加定义的原始概念和少数不加证明的基本命题(公理)出发，按照特定的演绎推理规则，推导出这一学科中的其他命题(定理)，从而构成一个演绎系统的方法。公理化方法随古代逻辑学、几何学的发展而产生。公元前3世纪，欧几里德最早应用公理化方法，建立了欧氏几何公理系统，写成《几何原本》一书。但是古典公理化方法具有一定的直观性和不严密性。19世纪中叶，非欧几何的诞生不仅为公理化方法的进一步完善奠定了基础，而且为公理化方法的推广和建立新的数学理论提供了依据。20世纪初，公理化方法进入形式化的阶段。希尔伯特把欧氏公理系统中的概念、命题、推理分别代入以符号、公式、符号变换，把全部数学命题变成数学符号和逻辑符号按一定规则排列的公式的集合。引进基本概念，确立一组公理，是运用公理化方法的关键。希尔伯特认为，设置和选取公理的三个重要原则是：(1)无矛盾性(又称“协调性”、“相容性”)。从公理系统所确定的几个基本定义、公理和公设出发，无论推论多远，决不会出现相互矛盾的命题。(2)完备性。一个学科理论的公理系统中所选定的公理应当是足够的，该学科理论的任何定理均可由这几个公理推导出来。(3)独立性。在一个公理系统中，每个公理应当是独立的，不能由其他公理推导出来，公理系统的构造必须符合简单性原则，不容许出现多余的公理。30年代，哥德尔提出不完全性定理，表明任何特定的公理化系统都不是绝对严格和完备的。所谓“完备性”，只是相对于一定的历史条件而言。公理化体系是人类认识的一定阶段的总结，随着科学的发展，人们会进一步发现它的不完备性和某些缺陷，从而被新的、更为合理的理论系统所代替。 |