| 《逻辑谓词演算公理的完备性》 The Completeness of the Axioms of the Functional Calculus of Logic 哥德尔博士论文。完成于1929年。1930年发表。该文证明了一阶逻辑的完备性定理。在引言中，作者提到怀特海和罗素纯形式地导出谓词演算的方法：把某些显然的命题作为公理，根据某些用一种纯形式的方式精确陈述的推理规则导出逻辑和数学的定理。这种程序实施后，立刻就会涉及原来设定的公理系统和推理规则是否完备的问题，即能否充分地推导出所有真的逻辑-数学命题。已经知道命题演算是完备的，因此对谓词演算要做同样的事情。随后作者分五步证明了完备性定理。首先，构造以PM系统为基础的逻辑演算系统，在证明了若干辅助定理后，提出定理Ⅰ，狭谓词演算的每个普效公式都可证。其次，引入定理Ⅱ，狭谓词演算的每个公式，或者可反驳或者可满足。显然定理Ⅱ获证时，定理Ⅰ也获证。第三，利用范式的特性，引进全称量词在前存在量词在后的R前束范式概念，试图就R前束范式证明定理Ⅱ。第四，提出定理Ⅲ。如果每个R前束范式或可反驳或可满足，则狭谓词演算的每个公式或可反驳或可满足。第五，用数学归纳法证明定理Ⅲ，从而证明定理Ⅱ、定理Ⅰ。在证明了完备性定理后，作者再把它推广到带等词的逻辑，文末还讨论了他建立的逻辑演算系统公理的独立性。该文标志着经典数理逻辑的完成。 |