一元二次反函数是高中数学中一个重要的概念,它是一元二次函数的逆函数。掌握一元二次反函数的公式对于解决相关数学问题非常关键。本文将全面介绍一元二次反函数的公式,并结合实例进行详细讲解,帮助读者深入理解并灵活运用这些公式。

一元二次反函数的定义

设 y = ax^2 bx c 是一元二次函数,其中 a ≠ 0。如果 a > 0,则该函数是一个抛物线,凸向上;如果 a < 0,则该函数是一个抛物线,凸向下。一元二次反函数就是将这个一元二次函数的自变量 x 和因变量 y 对调得到的函数,记作 x = ay^2 by c。

一元二次反函数的公式

根据一元二次函数的不同情况,一元二次反函数的公式也有所不同。主要有以下几种情况:

1. 当 a > 0 时

设 y = ax^2 bx c,其中 a > 0,则一元二次反函数为:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}$$

2. 当 a < 0 时

设 y = ax^2 bx c,其中 a < 0,则一元二次反函数为:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a(y-c)}}{2a}$$

3. 当 a = 1, b = 0, c = 0 时

此时一元二次函数简化为 y = x^2,一元二次反函数为:

$$x = \pm \sqrt{y}$$

4. 当 a = -1, b = 0, c = 0 时

此时一元二次函数简化为 y = -x^2,一元二次反函数为:

$$x = \pm \sqrt{-y}$$

实例应用

下面我们通过几个实例来演示如何运用这些一元二次反函数公式:

例1

已知一元二次函数 y = 2x^2 - 3x 1,求其反函数。

根据公式1,当 a > 0 时,一元二次反函数为:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 2 \times (1-y)}}{2 \times 2}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8(1-y)}}{4}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 8y}}{4}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1 8y}}{4}$$

例2

已知一元二次函数 y = -x^2 4