| 布尔代数 Boolean algebra 用以研究推理、证明等逻辑问题的代数。现代逻辑开创时期获得的基本成果。1847年在布尔发表的《逻辑的数学分析：论演绎推理的演算法》和德·摩根发表的《形式逻辑》两书中最早提出。17世纪，几何学的公理化已趋成熟，它为数理逻辑的发展提供了公理化的观念;当时数学的发展，也足以成为逻辑所模仿的对象。德国莱布尼茨已经看到了概念的合取和析取与数值的乘法和加法之间存在着某种类似之处，但是他并没有找到精确地表示这种类似的陈述方法，没有能建立起逻辑的演算系统。布尔找到一种以示范形式展开的清晰的形式的陈述，从而建立起第一个逻辑的演算系统。支配布尔系统的基本观念是他引进了选取性运算和选取性符号，确定了刻画这些符号的运算的“思维律”，进而建立起系统，并且对这个系统作了古典逻辑和命题逻辑的解释。布尔代数系统由下列元素组成：(1)文字符号：X、Y等，表示观念的主体;(2)运算符号：+、-、×等，表示思维(形式)的运算;(3)相等符号：=。这些符号的用法，与普通代数中相应的符号，在用法上不尽相同。布尔并且论证了它们符合规律：(1)XY=YX;(2)X+Y=Y+X;(3)Z(X+Y)=ZX+ZY;(4)Z(X-Y)=ZX-ZY;(5)如果X=Y，那么ZX=ZY，Z+X=Z+Y，Z-X=Z-Y;(6)X-Y=-Y+X;(7)X2＝X。当把X、Y、Z解释成类，将1看成是全类，0看成是空类，乘法、加法看成合取和析取时，布尔代数成了类演算。考虑到在通常情况下，类就是集合，所以也可称为集合代数。此时，传统逻辑中的矛盾律可以写成符号形式：X(1-X)=0。三段论：所有Y是X，所有Z是Y，可得所有Z是X。可以用符号写成：Y(1-X)=0，Z(1-Y)=0，通过布尔方法，消去Y，有Z(1-X)=0。当把X、Y、Z解释成命题，把1、0解释为命题的真、假时，布尔代数就成了命题代数，亦称逻辑代数。当把X、Y、Z解释成电路中的开关，1、0解释成“开”、“关”时，布尔代数成了开关代数。现代数学对布尔代数作了多种公理化的定义。一般来说，人们把布尔代数看成是满足以下条件的集合：(1)集合中能实施三个布尔运算;两个二元运算“+”“×”，一个一元运算“-”，(2)满足四组公理：X+Y=Y+X，X×Y=Y×X;X(Y+Z)=XY+XZ，X+YZ=(X+Y)(X+Z);X+0=X，X×1=X;X+(-X)=1，X×(-X)=0。从序的观点看，布尔代数是一个满足一定条件的格，即一个有补的分配格。 |