| 分形理论 fractal theory 关于分形性质及其应用的理论。研究各种几何对象、自然界和社会中的复杂现象，揭示其复杂结构、功能以及形成演化，探索各种复杂系统的共用规律。是当代“新几何学”与现代动力学理论的最新成果。以1977年法国数学家曼德勃罗(Benoit B. Mandelbrot， 1924— )的《分形：形态、机遇和维数》一书的出版为创立标志。最初只限于研究形态或结构上存在自相似性的几何对象，称为“分形几何学”。随着研究的需要和来自系统论、控制论、信息论的冲击，发展为“广义分形”。20世纪80年代末，一般把在形态(结构)、功能和信息等方面具有自相似性的研究对象统称为“分形”。按照分形理论，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现与缩影。人们把构成分形整体的相对独立部分称为“分形元”(fractal unit)或“生成元”(general)。90年代以来，为解释分形的振动，提出“分形子”(fracton)概念，表示分形上的元激发。按目前研究水平，分形可分为自然分形、时间分形(亦称过程分形或重演分形)、社会分形和思维分形四大类。其中每一类还可以进一步细分，如自然分形可分为几何分形、功能分形、信息分形和能量分形等。此外，还有递归分形(recurrent fractal)、自仿射分形(self-affinefractal)、多重分形(multifractal)等，它们表征了自然界中一些不规则的非线性特征。几何分形又可进一步分为线状分形(如科克曲线)、表面分形(如谢尔宾斯基地毯)、体积分形(如谢尔宾斯基海绵)。现代动力学理论的研究发现，混沌动力学中的奇怪吸引子正是一种分形，它是隐藏在混沌现象背后的具有嵌套的自相似几何结构。因此，分形与混沌是一致的。分形理论阐述分形元构成整体所遵循的原则与规律，发现从部分过渡到整体的媒介和桥梁，提出作为整体的系统“分”为部分和从部分出发认识整体的原则和方法，揭示复杂性背后隐含的统一性，证明有关复杂性定律的普适性，为在复杂系统中发现规律性，探索复杂系统的形成和演化发展，研究混沌中的有序开辟了道路。它从一个特定的层面揭示了宇宙的统一图景，指出每一个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现整体以及部分与整体之间的多层面、多视角、多维度的联系方式，为人们认识世界提供了崭新的方法论。分形理论与系统论互补，完整地构成了辩证的思维方式。 |