| 选择公理 axiom of choice 公理集合论中的一条公理。它断言：如果集合族X的元素两两不相交，并且X不含空集，那么存在集合Y，它与属于集合族X的每个集合都恰有一个公共元素。选择公理有许多种等价的表述形式，哥德尔在ZF(不包括选择公理)公理系统中添加上一条可构成性公理后，就能推出选择公理(AC)和广义连续统假设(GCH)。即如果ZF无矛盾，那么补加选择公理和广义连续统假设后的系统仍是无矛盾的，亦即AC和GCH相对ZF系统是协调的。人们也一直试图证明选择公理的独立性，即试图证明选择公理不能由集合论其他公理推出。弗兰克尔(Abraham Fraenkel，1891—1965)曾从可数个原子个体出发，构造了一个不满足选择公理的集合论模型。但由于这个有原子的集合论模型，不能完全满足ZF的全部公理，故作为选择公理的独立性证明是不够充分的。莫斯托夫斯基(Mostowski)和孟特尔森(Mendelson)等也做过类似的研究。1963年，柯亨(P.J.Cohen， 1934— )用力迫法构造了一个选择公理的否定在其中成立的ZF系统的模型。即从ZF的公理不能推出选择公理，从而解决了选择公理相对ZF系统的独立性。 |