柱谐函数 Cylindrical harmonics
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在数学中，柱谐函数是指在柱坐标中，拉普拉斯方程，![\nabla^2 V (\rho, \varphi, z) = 0](/Images/godic/202501/07/f0247a74550e8bac07146857b0ef3b090045.png")
，的一系列的解。每一个柱谐函数 ![V_{n,k}(\rho,\varphi,z)](/Images/godic/202501/07/2958854677219de68fdc0036712a612f0045.png")
都是三个函数的积：
![V_{n,k}(\rho,\varphi,z)=P_{n,k}(\rho)\Phi_n(\varphi)Z_k(z)\,](/Images/godic/202501/07/f7a9ef083609697406f2101e4c2ac5600045.png")
其中 ![(\rho,\varphi,z)](/Images/godic/202501/07/d4d2ffe910ca6d475e1475397d5e93410045.png")
是柱坐标下的坐标（分别为半径、极角和高度），而 n 和 k 则是两个常数，用以区分不同的柱谐函数。所有的柱谐函数一起，组成一组正交完备的基底，任何一个拉普拉斯方程的解都可以写成这些函数的线性组合。
有时候，柱谐函数也用来指代贝塞尔函数（柱谐函数最重要的组成部分）。
![\nabla^2 V = 0](/Images/godic/202501/07/c8e7a4c2ba1bbeec64267a3def5c17920045.png")
, expressed in cylindrical coordinates, ρ (radial coordinate), φ (polar angle), and z (height). Each function Vn(k) is the product of three terms, each depending on one coordinate alone. The ρ-dependent term is given by Bessel functions (which occasionally are also called cylindrical harmonics).