导数是微积分中的一个重要概念,它描述了函数在某一点上的变化率。导数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用,是解决各类实际问题的强大工具。掌握常用导数公式,不仅能帮助我们更好地理解导数的含义,还能提高解决微积分问题的能力。下面我们就来系统地学习一下常用导数公式。

基本导数公式

首先让我们回顾一下基本的导数公式:

• 常数函数的导数为0,即 $$ \frac{d}{dx}c = 0 $$
• 幂函数的导数为 $$ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $$
• 指数函数的导数为 $$ \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a $$
• 对数函数的导数为 $$ \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$
• 三角函数的导数为:
  • $$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x $$
  • $$ \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x $$
  • $$ \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x $$

复合函数的导数

在实际问题中,我们经常遇到复合函数的导数计算。对于复合函数 $$ f(g(x)) $$,其导数可以用链式法则计算:

$$ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) $$

链式法则的应用非常广泛,可以帮助我们轻松求出各种复合函数的导数。下面是一些常见的复合函数导数公式:

• $$ \frac{d}{dx}\sin(ax b) = a\cos(ax b) $$
• $$ \frac{d}{dx}\cos(ax b) = -a\sin(ax b) $$
• $$ \frac{d}{dx}\tan(ax b) = a\sec^2(ax b) $$
• $$ \frac{d}{dx}\ln(ax b) = \frac{a}{ax b} $$
• $$ \frac{d}{dx}(x^n)^m = mnx^{n(m-1)} $$

隐函数的导数

有时我们无法直接表示某个函数,而是通过一个方程来定义它,这种情况下我们需要使用隐函数求导法。假设有一个方程 $$ F(x,y) = 0 $$,我们可以求出 $$ \frac{dy}{dx} $$:

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} $$

其中 $$ F_x(x,y) $$ 和 $$ F_