| 数学分析 mathematical analysis 以函数为研究对象的数学学科。狭义指微积分学。数学史上有时也把微积分称做无穷小量分析。微积分的思想早在古代希腊和中国就已有雏形。随着原子论思想进入数学，人们从感性直观上认识到存在实在无限小量。到17世纪，生产和科学的发展向数学提出新的研究课题，如求物体运动的瞬时速度、曲线的切线、函数的极值以及由曲边形围成的图形面积等问题。这些问题都牵涉变动的量，但以常数为研究对象的初等数学对此却无能为力，因而迫切需要建立一种以变量为研究对象的新数学。17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地建立了微积分计算法。他们从几何和物理的直观上把握了实在无限小量的零与非零的性质，但没能精确表述实在无限小量这一概念，造成推理论证上的逻辑矛盾。1821年，法国数学家柯西(Augustin Louis Cauchy， 1789—1857)把无限小量定义为以零为极限的变量，使人们认识到它在变化过程中是非零，但其变化的趋势是零，可以无限地趋近于零。但导致有些数学家只肯定潜在无限小量而否定实在无限小量。20世纪60年代，鲁宾逊(Abraham Robinson， 1918—1974)从数学上严格证明了在数系中存在着实在无限小量，它在实数域中表现为零，在非标准实数域中则表现为非零，并由此建立了非标准分析理论。由此数学分析产生了微积分学和非标准分析两种形式。广义的数学分析包括微积分学、复变函数、实变函数、微分方程、积分方程、泛函分析等数学分支。参见“微积分”、“非标准分析”。 |