| 悖论 paradox 逻辑上自相矛盾的恒假命题。它的标准形式是p↔┐p。即由前提p可推出非p，并且由前提非p可推出p。悖论早在古希腊时已被提出，如公元前6世纪的“说谎者悖论”。在1900年前后的十余年中，随着朴素集合论的发展，新的悖论集中地出现，它不仅仅是数学界、哲学界所关注的对象，更重要的是引起人们对数学真理性和逻辑推理正确性的怀疑。1926年拉姆赛把悖论分为逻辑的与语义的两类。前者如布拉里-福蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论，它们可以用形式系统的语言，即对象语言予以阐述;后者如说谎者悖论、里查德悖论、格列林-纳尔逊悖论，它们在不同程度上需要借用元语言来给予阐述。为了解决悖论，特别是逻辑悖论的难题，遂产生了公理集合论。在策梅罗-弗兰克尔集合论系统ZFC和哥德尔-贝尔奈斯系统GB中都可以避免上述逻辑悖论，但当时的集合论，尽管避免了已经发现的悖论，然而并未证明不存在悖论，至于语义的悖论，同样也引起数学家和逻辑学家们的重视。塔尔斯基认为为了解决语义悖论，需要不同层次的语言。而自然语言，相对地说是不够确切的，要对它的语义进行严格处理是不可能的。因此他把研究限制在人工的形式语言上，集中其注意力于构造“真语句”的定义，从而创立了“基本语义定义”。罗素则认为悖论产生的根源是犯了“恶性循环”的毛病，如果φ是某一谓词，那么形如φ(φ)的命题就是恶性循环，它们是没有意义的，所以无真伪可言。为此，他创建了类型论，以求排除这种无意义的命题。 |