| 序数 ordinal number 集合论基本概念之一。是第一、第二等表示次序的数在概念上的推广。康托尔原来把序数定义为良序集a的序型ā，作为所有与a序同构的集的共同特征，即与a序同构的良序集的等价类。后来人们发现对于任何非空良序集，即使最简单的单元集｛∅｝，与它序同构的所有良序集事实上并不构成一个集，因此原来的定义是不够理想的。第一个满意的陈述是1923年由冯·诺伊曼提供的，他把序数定义为满足下述条件的良序集α：由α的任一元素β所决定的初始截段，即集α中所有小于β的元素所成之集，总与β相等。例如集合6，它由0、1、2、3、4、5这6个元素所构成，以通常的大小为次序，显然6是一个良序集;在其中任取一个元素例如3，由3所决定的初始截段是｛0，1，2｝，这个集合就是3。所有集合6中的其他元素也都具有这样的性质，因此集合6是一个序数。上述讨论完全适用于任何一个自然数，所以每一个自然数都是序数。1937年罗宾逊给出了序数的另一等价定义。如今这样的定义已不下四种，它们分别用不同的方式，表述序数的本质属性。序数可分为三类：第一类只含有一个序数0;第二类是后继序数，它包含一切具有最大元素的序数;第三类称为极限序数，它包含一切没有最大元素的非0序数。任何良序集必同构于一个唯一的序数，称为该良序集的序数。具有相同序数的两个良序集必相互序同构，因此序数可以看成所有序同构的良序集的代表。 |