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| 标题 | 公理集合论 |
| 类别 | 哲学 |
| 释义 | 公理集合论 axiomatic set theory 用形式公理化方法研究集合的理论。数理逻辑的一个重要组成部分。它是为了克服集合论中出现的悖论而提出的。自从19世纪90年代康托尔始创并总结了集合论以来，由于他把任意对象作为集合的元素，即把任意一组对象看成集合，这一推广，引起在以后十余年间出现了一系列的悖论。其中最著名的是1897年布拉里-福蒂(Burali-Forti， 1861—1931)的最大序数悖论;1899年康托尔的最大基数悖论与1902年的罗素悖论。凡此种种引起人们对新理论，甚至进一步对整个逻辑推理的正确性与结论的真理性的怀疑。从而迫使许多数学家和逻辑学家加强对这方面的探讨和研究，他们逐步意识到悖论产生的基本原因是所考虑的集合太大。而有效的解决途径是制订公理，以限制太大集合的产生。于是，策梅罗在1908年提出了第一个集合论的公理系统。他的系统建筑在带“相等”词的一阶谓词逻辑的基础上，由“集合”和“属于”两个原始概念和下述七条公理所组成：(1)外延公理：两个集合相等的充要条件是它们具有一样的元素;(2)初等集公理：存在一个不包含任何元素的集，即空集;有一个以两个已知集为元素的集;(3)子集公理模式：如果性质P对于集A中的任何元素都能确定它是否具有该性质，则A中所有满足P性质的元素构成一个集;(4)和集公理：一个集的元素的元素构成一个集;(5)幂集公理：一个集的所有子集构成一个集;(6)无限公理：有一个集I它包含空集∅作为其元素，并且I中任一元素a的后继aU｛a｝也是I的元素;(7)选择公理：如果空集∅不是集S的元素，并且S的元素两两不相交，则必能在S的元素中各选一个代表组成一个集。在策梅罗的公理系统中，可以避免最大序数悖论、最大基数悖论和罗素悖论，从而为集合论发展提供了基础。策梅罗的公理系统固然解决了已知的悖论，但在其系统内仍有一个是否会产生新的悖论的问题。1917年密列曼诺夫(D. Mirimanoff， 1861—1925)指出“异常集”的悖论，其悖论到1925年由冯·诺伊曼引入基底公理即任何非空集合总有和它不相交的元素后，才获解决。以后弗兰克尔(Abraham Fraenkel， 1891—1965)对策梅罗公理系统作了改进，所得公理系统称为ZF系统。在ZF系统基础上，另外一些公理集合论系统也相继诞生。1925年和1928年冯·诺伊曼先后发表《集合论的一个公理化》、《集合论的公理化》两文，讨论了集合论的另一公理系统。冯·诺伊曼系统一方面保留了旧系统的基本内容，是旧系统的扩充;另一方面和旧系统又有一些实质性的区别。从1937—1954年，贝尔奈斯连续发表了七篇论文《公理集合论的一个系统》(Ⅰ—Ⅶ)。其中提出的B系统既综合ZF与冯·诺伊曼的思想，又与数理逻辑更加密切地结合起来。B系统有“集”与“类”两种原始对象，有集与集以及集与类之间的两种原始属于关系。1938—1940年，哥德尔将上述B系统加以简化，把集a与集a所表现的类A统一起来，把不能被任何集所表现的类称为真类，它不能是任何集或类的元素;使∈通用于集对集与集对类两种属于关系，取消原来的符号n。哥德尔把公理分为五组。这样的公理系统通常称为GB系统。与ZFC系统相比，GB系统增添了类的概念及类的构成公理，从而具有两大优点：(1)由于类的引入，因而可以自由地使用概括原理，(2)运用类的构成公理，可以证明GB系统中的一条很强的定理，由它可以导出置换公理模式与子集公理模式。因此GB系统是一个有限公理化系统，而ZFC却是一个无限公理化系统。随之可以得到：在GB系统中引进类的概念并增加类的构成公理后，并不增加产生悖论的危险。因为，可以证明GB关于ZFC是相对协调的。因而，如果ZF是协调的，那么ZFC也是协调的，GB也是协调的。进一步还可证明ZFC系统中的定理与GB系统中不包含类的定理完全一致。另外1939年布尔巴基(N. Bourbaki)也建立了一个系统，该系统只有“集”一种个体，类是作为构成包含谓词的命题的形式出现。由于ZFC系统中的选择公理的非构造性质及应用它可以证明奇怪的巴拿赫-塔尔斯基双球定理，使它在ZFC系统中处于一个很特殊的地位，如几何中的平行公理那样，长期以来遭到一些著名数学家的非难。因此论证AC与ZF系的相容性与独立性就成为公理集合论研究中一个迫切需要解决的问题。更进一步该考虑的还有康托尔的连续统假设，以及广义连续统假设与ZFC或ZF的相容性和独立性问题。前者是希尔伯特23个著名问题中的第一个。1938年哥德尔在著名论文《AC与GCH关于集合论公理的相容性》中，圆满地解决了AC与GCH关于ZF的相对相容性，并且为解决希尔伯特的第一个问题提供契机。1963年柯亨(P. J. Cohen， 1934— )在他的论文《CH的独立性》中，运用他创造的力迫法证明了CH关于ZFC的独立性。从而表明今天所承认的集合论公理不足以判明CH的真假。公理集合论的建立及其发展，使它成为20世纪数学与数理逻辑研究的一个重要而广阔的领域。它的一系列新成果，不仅丰富了集合论的内容，扩大了集合论的应用范围，并且深化了人们对数学与逻辑内在统一性的理解，促使数学或逻辑中新边缘学科的建立。从而对数学和数理逻辑的发展产生重大影响。 |
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