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| 标题 | 类型论 |
| 类别 | 哲学 |
| 释义 | 类型论 theory of types 通过对逻辑和数学的语言施加某些限制而使数学和逻辑从悖论中解脱出来的一种逻辑理论。其特点是：所讨论的对象(类、命题函数、性质、谓词等)被区分为不同的类型。1901年罗素发现了著名的集合论悖论，即一切不属于自身的类组成的类R是自身的一个分子，当且仅当，它不是自身的分子。根据这个悖论，像R这样的类是不可能存在的，或者说某些条件并不决定类。为此罗素于1908年提出了一种作为排除悖论方法的理论，即通过施加限制，去实施把数学归结为逻辑的方案。从而创立了类型论。类型论的基本思想是：个体有不同的层次或类型，类的型不同于它的分子的型，每一个类只能含有一种型的分子。按此，如用“是自身的分子”这样的语言表达式就是无意义的了。因此逻辑得以避免矛盾。在罗素之前，弗雷格和施罗德已提出把所有对象看成并不属于同一层次的想法，但他们都没有能给它建立一套完整的理论。1903年，罗素在《数学原则》中，已经看到了悖论源于常识，认为解决的办法是放弃某些常识。并且提出了类型论的两个基本出发点：第一：每一个命题函项∅(x)都有一个有效定义域(即意义域)，所谓意义域是指，∅(x)为命题时x的取值范围。第二：意义域构成型，也就是说，如果x属于∅(x)的意义域，那么存在着一个对象类，即x的型，它的所有分子必定也属于∅(x)的意义域。不同的∅可以有相同的型为意义域。就类而言，在最低层的为个体，构成最低的型，然后，依次是个体的类，个体的类的类等，相应地构成不同的型。这就是简单类型论。但这种办法只能解脱部分悖论。为了从本质上去分析和解除悖论，1905年，罗素在《关于超穷数和超穷序型中的一些困难》一文中又提出解决问题的三种理论，即量性限制理论、曲折理论和无类理论。罗素知道：类可以通过枚举它的对象或指明它的性质这样两种方法加以定义，前者是外延式的，后者是内涵式的。限制大小的即外延方向的理论称为量性限制理论，内涵方向的理论称为曲折理论，即之字型理论。量性限制理论要求一个类的存在所依赖的命题函项的外延不能太大，要加以限制。最能刻画其特点的是不承认万有类的存在性。后来由策梅罗等人发展的公理集合论，可以看作是这种思想的深入。曲折理论对命题函项的复杂性进行限制，只有简单函项才决定类，这涉及内容和意义方面。后来奎因建立的系统具有这个纲要的某些本质属性。罗素实际上没有采用量性限制理论和曲折理论，而是采用了无类理论，认为类或概念只是逻辑的虚构，是说话的一种方便，而不是独立存在的实体。1905—1906年间，罗素接受了彭加勒关于悖论根源于非直谓定义的思想，提出了著名的恶性循环原则(实质上是防止恶性循环的原则)：“凡是涉及一个集体的总体对象，它本身不是该集体的成员;反之，假如一个集体有一个总体，该集体又含有只能由它的总体来定义的成员，则该集体必定没有总体。”基于这一原则和无类理论的思想，罗素再次致力于用类型论来解决悖论和发展数学。1908年，在《以类型论为基础的数理逻辑》一文中，罗素建立了分支类型论。1921年波兰逻辑学家赫维斯特克(L.Chwistek)提议对分支类型论进行修改和简化，1925—1926年，英国逻辑学家拉姆赛把悖论区分为逻辑学(或集合论)悖论和语义学(或认识论)悖论，通过保留分支类型论中“型”的划分，而取消可归化公理及“级”的划分，把分支类型论改造为简单类型论。奎因于1937年构造的逻辑系统NF也具有某种类型论的特征。逻辑学家们也常常把高阶谓词演算称作类型论。 |
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