| 类 class (1)通常称集合。指具有相同属性的事物的汇集。客观世界中有许许多多个别事物，它们有各种性质，相互之间也有种种关系。性质和关系统称为属性，具有相同属性的事物汇集成类。自然界中的虎、狗、鱼……汇集在一起，成为动物类。组成类的个别事物，称为该类的分子，分子和类之间有“属于”关系，即分子属于类。如一个个的虎、狗、鱼属于动物类，是动物类的分子。无分子的类称为空类。两个类相同，当且仅当，它们的成员完全一样。可以用一一列举类的分子的方法表示类，称为外延法;有时类中分子太多，无法一一列举，此时要用刻划类的属性的方法去表示类，这称为内涵法。罗素认为后者更为基本。1901年罗素发现了“一切不是自己分子的类所合成的类”所引起的自相矛盾。由于它是用逻辑学中最基本的概念即类和属于关系加以表述的，因而引起了极大的震动。为解决这一矛盾，罗素提出了包括简单类型论和分支类型论的类型论。(2)一个比集合更为广泛的概念，它以集合作为其真子概念。任何一元谓词P决定一个类A=｛x：p(x)｝，即一切使p(x)为真的x全体构成一个类A。这是对弗雷格概括原理｛x：p(x)｝ 是一个集合的修正。因为a=｛x：x∈a)，所以任何一个集合a都是类，反之却不然，诸如V=｛x：x是集合｝、On＝｛α：α为序数｝、Cn＝｛λ：λ为基数｝、A=｛x：x∉x｝等等会引出悖论的类都不是集合，这样的类称为真类。在ZFC系统中，为了避免由引入真类而产生的矛盾，采用分离公理模式ᗄa∃b=｛x∈a：p(x)｝来取代概括原理，从而把真类排除出集合论的讨论范围。但冯·诺伊曼则认为类的概念很重要，一方面在研究、讨论数学的若干场合要用到类，不宜一概加以排斥;另一方面产生悖论的原因不在于系统内真类的存在，而在于把它作为某一个类的元素，如能限制真类，使它不能成为其他类的元素，则使用真类不会引出悖论。这样类的概念就成为NGB公理系统的一个基本概念。 |