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标题 两个总体均值相等假设检验
类别 心理学
释义

【两个总体均值相等假设检验】
 

拼译：tests of hypotheses on the equality of the means of two populations
 

假设检验的一种。两个总体均值相等的假设检验。可分为以下四种情况：(1)两个总体相互独立、方差已知时。若总体X1与X2相互独立，X1～N(μ1，)，X2～N(μ2，)，其中与已知，而μ1与μ2未知。在双侧检验情形下，待检验的统计假设是H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。由统计抽样理论知，在H0成立时，统计量Z=服从标准正态分布。式中与n1是来自总体X1的样本均值与样本大小；与n2是来自总体X2的样本均值与样本大小。由给定的α，查得标准正态分布的双侧α分位点Zα／2与－Zα／2，满足P｛Z＜－Zα／2｝=P｛Z＞Zα／2｝=。当由样本计算出的Z的观测值Z0满足｜Z0｜＞Zα／2时，拒绝H0；否则就接受H0。在单侧检验情形下，若统计假设是H0： μ1≤μ2；Hi：μ1＞μ2，检验统计量仍是Z=，对给定的α，查得标准正态分布的右侧临界点Zα，它满足P｛Z＞Zα｝=α。当统计量Z的观测值Z0＞Zα时，拒绝H0；否则接受H0。若统计假设是H0：μ1≥μ2；H1：μ1＜μ2，则应查左侧临界值－Zα，它满足P｛Z＜－Zα｝=α。若Z0＜－Zα，则拒绝H0；否则，接受H0。(2)两个总体相互独立，方差未知但相等，即==σ2时。若X1～N(μ1，)，X2～N(μ2，)，X1与X2相互独立，参数都未知，双侧检验情形下待检验的假设是H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。从两总体中分别抽取随机样本(X11，X12，…，X1n1)，(X21，X22，…，X2n2)，它们的均值是X1与，方差是与。其中=(X1i－)2，=(X2i－)2。由于==σ2，故用两样本的混合方差来估计σ2，=。此时检验统计量为t=统计抽样理论表明：在上面条件下，若H0成立，则t服从自由度为n1+n2－2的t分布，检验的拒绝域是t0＜－tα／2或t0＞tα／2。这里t0是统计量t的观测值，－tα／2与tα／2是t分布的双侧α分位点，即满足P｛t＞tα／2｝=P｛t＜－tα／2｝=。若统计假设是右侧检验：H0：μ1≤μ2；H1：μ1＞μ2，此时只在t分布的右尾设置拒绝域，查t分布数值表得右侧α分位点tα：P｛t＞tα｝=α。而当t0＞tα时，拒绝H0。若统计假设是左侧检验：H0：产1≥μ2；H1：μ1＜μ2，拒绝域在分布的左尾。查表得tα：P｛t＜－tα｝=α，则当t0＜－tα时，拒绝H0。(3)两个总体相互独立，方差未知，且≠时。这时没有精确分布来检验H0：μ1=μ2，但统计量t*=渐近地服从t分布，其自由度为v=－2。(4)两总体不是相互独立，即相关时，使用配对t检验。当两总体不独立时，通常只讨论两总体是配对相关这一特殊情况：即两总体在某些方面是“共享”的或“连带”的，亦称配对总体。如对同一组学生进行心理辅导实验，观测他们接受辅导前与接受辅导后的学习成绩的变化，于是每个学生都有两个成绩：辅导前的成绩X1与辅导后的成绩X2。这两个成绩是配对的，它们来自同一名学生。这种情况的两总体又叫配对总体，记为(X1，X2)。若X1～N(u1，)，X2～N(u2，)。对配对总体进行n次观测，得样本(X11，X21)，(X12，X22)，…，(X1n，X2n)。记Di=X1j－X2j(j=1，2，…，n)，μD=μ1－μ2。检验“H0：μ1=μ2”等价于检验“H0：μD=0”。于是要检验的假设可写为H0：μD=0；H1：μD≠0。采用的检验统计量是t=。式中=Dj／n，SD=。由统计抽样理论知：在H0成立时，t服从自由度为n－1的t分布。对给定的α，查t分布数值表得双侧α分位点tα／2。若统计量t的观测值t0满足｜t0｜＞tα／2，则拒绝H0，即两总体均值μ1与μ2之间存在显著差异。
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更新时间：2025/8/9 5:05:05