圆周卷积

两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。x(t) 的周期延伸可以写成

两个函数 x(t) 与 h(t) 的圆周卷积 $(x \otimes h)(t)$ 可用两种互相等价的方式来定义

其中 $*$ 表示原本的（线性）卷积。

类似的，对于离散信号（数列），可以定义周期 N 的圆周卷积 $(x \otimes h)[n]$ 为

离散信号的圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用快速傅里叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度 $L$ 和长度 $M$ 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度 $L+M-1$ 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为 N 点信号，其中 $N\ge L+M-1\,$ ，则它们的圆周卷积就与卷积相等。即可接着用 N 点 FFT 作计算。

词汇	Circular convolution
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Circular convolution 中文百科圆周卷积两个函数的圆周卷积是由他们的周期延伸所来定义的。周期延伸意思是把原本的函数平移某个周期 T 的整数倍后再全部加起来，所产生的新函数。x(t) 的周期延伸可以写成两个函数 x(t) 与 h(t) 的圆周卷积 $(x \otimes h)(t)$ 可用两种互相等价的方式来定义其中 $*$ 表示原本的（线性）卷积。类似的，对于离散信号（数列），可以定义周期 N 的圆周卷积 $(x \otimes h)[n]$ 为离散信号的圆周卷积可以经由圆周卷积定理使用快速傅里叶变换（FFT）而有效率的计算。因此，若原本的（线性）卷积能转换成圆周卷积来计算，会远比直接计算更快速。考虑到长度 $L$ 和长度 $M$ 的有限长度离散信号，做卷积之后会成为长度 $L+M-1$ 的信号，因此只要把两离散信号补上适当数目的零（zero-padding）成为 N 点信号，其中 $N\ge L+M-1\,$ ，则它们的圆周卷积就与卷积相等。即可接着用 N 点 FFT 作计算。英语百科 Circular convolution 圆周摺积 The circular convolution, also known as cyclic convolution, of two aperiodic functions (i.e. Schwartz functions) occurs when one of them is convolved in the normal way with a periodic summation of the other function. That situation arises in the context of the Circular convolution theorem. The identical operation can also be expressed in terms of the periodic summations of both functions, if the infinite integration interval is reduced to just one period. That situation arises in the context of the discrete-time Fourier transform (DTFT) and is also called periodic convolution. In particular, the DTFT of the product of two discrete sequences is the periodic convolution of the DTFTs of the individual sequences.
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