可预测过程

可预测过程是数学中随机过程里的一个概念。如果一个随机过程在某个时刻的取值在这个时刻之前就可能可以知道（可测），那幺就称这个过程是可预测过程。

设有

当指标集 $T$ 是（可数的）离散集合，比如 $\mathbb{N}$ 时， $\left( X_t \right)_{t \in \mathbb{N}}$ 是可预测过程当且仅当对任意的 $n\in\mathbb{N}$ ， $X_{n+1}$ 都是 $\mathcal{F}_{n}$ -可测的随机变量。通俗地说，只要完全掌握了这个随机过程在 $t = n$ 时刻的所有信息，那幺 $t = n+1$ 时的取值就是确定的。

当指标集 $T$ 是（不可数的）连续集合，比如 $[0, \infty)$ 时， $\left( X_t \right)_{t\in \mathbb{T}}$ 是可预测过程当且仅当对任意的 $t\in\mathbb{T}$ ， $X_{t}$ 都是 $\mathcal{F}_{t_-}$ -可测的随机变量。其中的参考族 $\mathcal{F}_{t_-} = \bigcup_{s<t} \mathcal{F}_{s}$ 。换句话说，如果知道了随机过程这个随机过程 $X$ 在 $t$ 时刻之前任意时刻的取值，那幺几乎必然有 $X_t = \lim_{s\uparrow t}X_s$ ，也就是说随机过程在一个特定时刻的取值是之前的取值的极限。另一种等价的定义方式是先定义可预测的σ-代数。给定了参考族 $\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} | t \in T \}$ 后，可以定义 $(\Omega, T)$ 上的 $\mathbb{F}$ -可预测σ-代数 $\mathbb{F}^p$ ：它是由所有的左连续并且对每个 $t$ 都可测的过程 $Y = Y(\omega, t)$ 生成的σ-代数。而一个随机过程是可预测的，当且仅当 $X = X(\omega, t)$ 作为 $(\Omega, T)$ 上的随机变量是 $\mathbb{F}^p$ -可测的。

词汇	Predictable process
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Predictable process 中文百科可预测过程可预测过程是数学中随机过程里的一个概念。如果一个随机过程在某个时刻的取值在这个时刻之前就可能可以知道（可测），那幺就称这个过程是可预测过程。设有当指标集 $T$ 是（可数的）离散集合，比如 $\mathbb{N}$ 时， $\left( X_t \right)_{t \in \mathbb{N}}$ 是可预测过程当且仅当对任意的 $n\in\mathbb{N}$ ， $X_{n+1}$ 都是 $\mathcal{F}_{n}$ -可测的随机变量。通俗地说，只要完全掌握了这个随机过程在 $t = n$ 时刻的所有信息，那幺 $t = n+1$ 时的取值就是确定的。当指标集 $T$ 是（不可数的）连续集合，比如 $[0, \infty)$ 时， $\left( X_t \right)_{t\in \mathbb{T}}$ 是可预测过程当且仅当对任意的 $t\in\mathbb{T}$ ， $X_{t}$ 都是 $\mathcal{F}_{t_-}$ -可测的随机变量。其中的参考族 $\mathcal{F}_{t_-} = \bigcup_{s<t} \mathcal{F}_{s}$ 。换句话说，如果知道了随机过程这个随机过程 $X$ 在 $t$ 时刻之前任意时刻的取值，那幺几乎必然有 $X_t = \lim_{s\uparrow t}X_s$ ，也就是说随机过程在一个特定时刻的取值是之前的取值的极限。另一种等价的定义方式是先定义可预测的σ-代数。给定了参考族 $\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_{t} \| t \in T \}$ 后，可以定义 $(\Omega, T)$ 上的 $\mathbb{F}$ -可预测σ-代数 $\mathbb{F}^p$ ：它是由所有的左连续并且对每个 $t$ 都可测的过程 $Y = Y(\omega, t)$ 生成的σ-代数。而一个随机过程是可预测的，当且仅当 $X = X(\omega, t)$ 作为 $(\Omega, T)$ 上的随机变量是 $\mathbb{F}^p$ -可测的。英语百科 Predictable process 可预测过程 In stochastic analysis, a part of the mathematical theory of probability, a predictable process is a stochastic process whose value is knowable at a prior time. The predictable processes form the smallest class that is closed under taking limits of sequences and contains all adapted left-continuous processes.
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