多伽玛函数

$\boldsymbol{m}$ 阶多伽玛函数是伽玛函数的第 $(\boldsymbol{m+1})$ 个对数导数。

\psi^{(m)}(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^m\psi(\zeta)=\left(\frac{d}{d\zeta}\right)^{m+1}\ln\Gamma(\zeta)

在这里

\psi(\zeta)=\psi^{(0)}(\zeta) = \frac{\Gamma'(\zeta)}{\Gamma(\zeta)}

是双伽玛函数， $\Gamma(\zeta)\!$ 是伽玛函数。函数 $\psi^{(1)}(\zeta)\!$ 有时称为三伽玛函数。

伽玛函数的对数，以及最初几个多伽玛函数

$\ln\Gamma(\zeta)\!$	$\psi^{(0)}(\zeta)\!$	$\psi^{(1)}(\zeta)\!$	$\psi^{(2)}(\zeta)\!$	$\psi^{(3)}(\zeta)\!$	$\psi^{(4)}(\zeta)\!$

多伽玛函数可以表示为：

\psi^{(m)}(\zeta)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}} dt

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。

Polygamma function