冯·诺伊曼基数指派是使用序数的基数指派。对于良序集合 U，我们定义它的基数为等势(equinumerous)于 U 的最小序数。更加精确的，

这里的 ON 是序数的类。这个序数也叫做这个基数的初始序数。

使用替代公理，U 是良序的和序数的类是良序的的事实保证这样一个序数存在并且是唯一的。通过完全选择公理，所有集合都是可良序的，所以所有集合都有一个基数；我们使用从序数继承来的次序排序基数。容易发现这与通过 的排序相符。这是基数的良序排序。

The von Neumann cardinal assignment is a cardinal assignment which uses ordinal numbers. For a well-ordered set U, we define its cardinal number to be the smallest ordinal number equinumerous to U. More precisely:

where ON is the class of ordinals. This ordinal is also called the initial ordinal of the cardinal.