希尔伯特矩阵

在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是单位分数的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是：

H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}.

举例来说， $5 \times 5$ 的希尔伯特矩阵就是：

H_5 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.

希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下积分：

H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx,

也就是当矢量是关于变量x 的各阶幂时关于积分范数 $\mathbb{L}^1$ 的格拉姆矩阵。

希尔伯特矩阵是低条件矩阵的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说，当范数为 $l^2$ 矩阵范数时希尔伯特矩阵的条件数大约是 $4.8 \times 10^5$ ，远大于1。

词汇	Hilbert matrix
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Hilbert matrix 中文百科希尔伯特矩阵在线性代数中，希尔伯特矩阵是一种系数都是单位分数的方块矩阵。具体来说一个希尔伯特矩阵H的第i横行第j纵列的系数是： $H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}.$ 举例来说， $5 \times 5$ 的希尔伯特矩阵就是： $H_5 = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.$ 希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下积分： $H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx,$ 也就是当矢量是关于变量x 的各阶幂时关于积分范数 $\mathbb{L}^1$ 的格拉姆矩阵。希尔伯特矩阵是低条件矩阵的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说，当范数为 $l^2$ 矩阵范数时希尔伯特矩阵的条件数大约是 $4.8 \times 10^5$ ，远大于1。英语百科 Hilbert matrix 希尔伯特矩阵 In linear algebra, a Hilbert matrix, introduced by Hilbert (1894), is a square matrix with entries being the unit fractions For example, this is the 5 × 5 Hilbert matrix: The Hilbert matrix can be regarded as derived from the integral that is, as a Gramian matrix for powers of x. It arises in the least squares approximation of arbitrary functions by polynomials.
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