在群论里，四元群是指一个8目的不可换群。它常被标示为Q，且被写成乘法的形式，以下列的8个元素

这里，1是单比特素，(−1) = 1且对每个Q内的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的关系获得：

Q的凯莱表如下：

需注意的是，此一群为非可换的；如ij=−ji。Q有着汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个Q的子群都是其正规子群，但这个群不是可换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个Q。

在抽象代数里，可以造出一个其基底为{1,i,j,k}的实四维矢量空间，且使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数。其即为一个称为四元数的除环。需注意的是，这并不是在Q上的群代数(其应该是8维的)。相反地，亦可以先由四元数开始，再「定义」出由八个元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所组成之乘法子群做为四元群。

In group theory, the quaternion group is a non-abelian group of order eight, isomorphic to a certain eight-element subset of the quaternions under multiplication. It is often denoted by Q or Q₈, and is given by the group presentation

where 1 is the identity element and −1 commutes with the other elements of the group.