高斯和

在数论中，高斯和是一种单位根的有限和，可抽象地表为

其中 $R$ 为有限交换环， $\psi: (R,+) \to \mathbb{S}^1$ 为同态， $\chi: (R^\times,*) \to \mathbb{S}^1$ 亦为同态，对于 $r \notin R^\times$ ，可定义 $\chi(r) = 0$ 。

这类有限和常见于代数数论与解析数论。此时通常取 $R := \Z/n\Z$ ，特征 $\psi$ 必为 $\psi(x) = e^{2\pi i \alpha x/n}$ 之形式（ $\alpha \in \Z$ ），此处的 $\chi$ 不外是一个狄利克雷特征。这类高斯和有时也记为 $\tau_{\alpha}(\chi)$ ，出现于狄利克雷L函数的函数方程中。

高斯和的绝对值可透过抽象调和分析的方法导出，其确切值则较难确定。高斯首先算出了二次高斯和，此时取 $R = \Z/p\Z$ ，其中 $p$ 为素数，并取 $\chi(x) := \left( \frac{x}{p} \right)$ 为勒让德符号。高斯和遂化为下述指数和：

高斯得到的结果是：

由此可导出二次互反律的一种证明；二次高斯和也与Theta 函数理论相关。

词汇	Gauss sum
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释义	Gauss sum 中文百科高斯和在数论中，高斯和是一种单位根的有限和，可抽象地表为其中 $R$ 为有限交换环， $\psi: (R,+) \to \mathbb{S}^1$ 为同态， $\chi: (R^\times,*) \to \mathbb{S}^1$ 亦为同态，对于 $r \notin R^\times$ ，可定义 $\chi(r) = 0$ 。这类有限和常见于代数数论与解析数论。此时通常取 $R := \Z/n\Z$ ，特征 $\psi$ 必为 $\psi(x) = e^{2\pi i \alpha x/n}$ 之形式（ $\alpha \in \Z$ ），此处的 $\chi$ 不外是一个狄利克雷特征。这类高斯和有时也记为 $\tau_{\alpha}(\chi)$ ，出现于狄利克雷L函数的函数方程中。高斯和的绝对值可透过抽象调和分析的方法导出，其确切值则较难确定。高斯首先算出了二次高斯和，此时取 $R = \Z/p\Z$ ，其中 $p$ 为素数，并取 $\chi(x) := \left( \frac{x}{p} \right)$ 为勒让德符号。高斯和遂化为下述指数和：高斯得到的结果是：由此可导出二次互反律的一种证明；二次高斯和也与Theta 函数理论相关。英语百科 Gauss sum 高斯和 In mathematics, a Gauss sum or Gaussian sum is a particular kind of finite sum of roots of unity, typically where the sum is over elements r of some finite commutative ring R, ψ(r) is a group homomorphism of the additive group R into the unit circle, and χ(r) is a group homomorphism of the unit group R into the unit circle, extended to non-unit r where it takes the value 0. Gauss sums are the analogues for finite fields of the Gamma function.
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