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词汇 First fundamental form
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释义

First fundamental form

中文百科

第一基本形式

在微分几何中，第一基本形式（first fundamental form）是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由 R 中标准点积诱导。它使得曲面的曲率和度量性质（比如长度与面积）可与环绕空间一致地计算。第一基本形式用罗马数字 I 表示：

\!\mathrm{I}(v,w)= \langle v,w \rangle.\,

设 X(u, v) 是一个参数曲面，则两个切矢量的内积为

\begin{align} & {} \quad \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\ & = ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\ & = Eac + F(ad+bc) + Gbd, \end{align}

这里 E, F,与 G 是第一基本形式的系数。

第一基本形式可以表示为一个对称矩阵

\!\mathrm{I}(v,w) = v^T \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}w.
英语百科

First fundamental form 第一基本形式

In differential geometry, the first fundamental form is the inner product on the tangent space of a surface in three-dimensional Euclidean space which is induced canonically from the dot product of R. It permits the calculation of curvature and metric properties of a surface such as length and area in a manner consistent with the ambient space. The first fundamental form is denoted by the Roman numeral I,
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